Script Enseignant : Croissance Expo : Terre & Co

Introduction et Accroche (10 minutes)

(Afficher la Diapositive 1 : Croissance Expo : Terre & Co)

Enseignant : Bonjour à toutes et à tous ! Bienvenue pour une exploration fascinante des mathématiques et de leur pouvoir d'expliquer le monde qui nous entoure. Aujourd'hui, nous allons nous pencher sur un type de fonction très spécial, les fonctions exponentielles à base ‘a’. Regardez bien l'image sur la diapositive : une petite pousse de plante sort de terre, pleine de promesses, ou un essaim d'abeilles en pleine effervescence. Qu'est-ce que cela évoque pour vous en termes de croissance, de changement ?

(Laisser les élèves réfléchir et partager quelques idées.)

Enseignant : Exactement ! Ça évoque la vie, la multiplication, quelque chose qui prend de l'ampleur très, très vite. Mais aussi, parfois, quelque chose qui disparaît très vite.

(Afficher la Diapositive 2 : Une Croissance Explosive ou Une Diminution Rapide ?)

Enseignant : Pensez à des situations où quelque chose double à chaque période, ou au contraire, divise par deux. Où quelque chose explose en nombre, ou disparaît rapidement. Comment, selon vous, pourrions-nous modéliser cela mathématiquement ? Quels outils avons-nous dans notre boîte à outils mathématique pour décrire de tels phénomènes ?

(Attendre des réponses comme 'multiplication', 'puissances', etc.)

Enseignant : Précisément ! Et c'est là que les fonctions exponentielles entrent en jeu. Elles sont les championnes pour décrire ces phénomènes de croissance ou de décroissance fulgurantes.

(Afficher la Diapositive 3 : Nos Objectifs Aujourd'hui)

Enseignant : Aujourd'hui, nous avons trois objectifs majeurs. Premièrement, nous allons définir et comprendre ce qu'est une fonction exponentielle à base a. Deuxièmement, nous identifierons ses propriétés clés : son domaine, son image, son asymptote, et son comportement, c'est-à-dire si elle croît ou décroît. Et enfin, et c'est le plus passionnant, nous appliquerons ces fonctions pour modéliser des situations concrètes et bien réelles dans deux domaines qui nous touchent tous : l'agriculture et l'aide humanitaire. Prêts à semer les graines de la connaissance ?

Définition et Propriétés des Fonctions Exponentielles (20 minutes)

(Afficher la Diapositive 4 : Qu'est-ce qu'une Fonction Exponentielle à Base 'a' ?)

Enseignant : Alors, qu'est-ce qu'une fonction exponentielle ? C'est une fonction qui s'écrit sous la forme $f(x) = a^x$. Ici, le nombre a est appelé la base, et x est notre variable, qui est à l'exposant. C'est ça la particularité : la variable est en exposant ! Mais attention, il y a des règles pour a. a doit être un nombre réel positif, donc $a > 0$, et a ne doit pas être égal à 1, donc $a \neq 1$.

Pourquoi ces conditions, à votre avis ? Pourquoi a ne peut-il pas être négatif, et pourquoi ne peut-il pas être 1 ?

(Laisser les élèves réfléchir. Guidez la discussion si nécessaire vers l'exemple de racines carrées de nombres négatifs ou de puissances de 1.)

(Afficher la Diapositive 5 : Pourquoi ces conditions sur 'a' ?)

Enseignant : Exactement ! Si a était négatif, comme par exemple $(-2)^x$, que se passerait-il si x était 1/2, c'est-à-dire une racine carrée ? On aurait $\sqrt{-2}$, ce qui n'est pas un nombre réel. La fonction ne serait pas définie partout. Et si a était 1, $1^x$ serait toujours égal à 1, quelle que soit la valeur de x. On aurait une fonction constante, $f(x)=1$, et ça, ce n'est pas une croissance ou une décroissance. Donc, pour qu'elle soit intéressante et bien définie, a doit être positif et différent de 1.

(Afficher la Diapositive 6 : Propriétés Générales)

Enseignant : Ces fonctions ont des propriétés très intéressantes et universelles.

• Le domaine : C'est l'ensemble de toutes les valeurs que x peut prendre. Ici, c'est tous les nombres réels, de moins l'infini à plus l'infini. Vous pouvez mettre n'importe quel nombre comme exposant.
  
• L'image : C'est l'ensemble de toutes les valeurs que $f(x)$ peut prendre. Et là, c'est important : l'image, ce sont tous les nombres réels strictement positifs. Une fonction exponentielle ne peut jamais être nulle ou négative. Elle est toujours au-dessus de l'axe des x.
  
• L'asymptote Horizontale : C'est la droite vers laquelle la courbe de la fonction s'approche de plus en plus, sans jamais la toucher. Pour $f(x)=a^x$, cette asymptote est l'axe des x, c'est-à-dire la droite d'équation $y=0$. Imaginez que la courbe flirte avec l'axe sans jamais l'embrasser.
  
• Le point caractéristique : Toutes les fonctions exponentielles, peu importe la base a (tant qu'elle respecte les conditions), passent par le point $(0, 1)$. Pourquoi ? Parce que n'importe quel nombre a élevé à la puissance 0 donne 1 ! ($a^0=1$).
  

(Afficher la Diapositive 7 : Croissance ou Décroissance ? Tout Dépend de 'a' !)

Enseignant : Le comportement de la fonction dépend entièrement de la valeur de a.

• Si $a > 1$ : La fonction est croissante. Et pas juste un peu, elle croît de plus en plus vite. Pensez à une population qui se multiplie rapidement. Par exemple, $f(x) = 2^x$. Si $x=1$, $2^1=2$. Si $x=2$, $2^2=4$. Si $x=3$, $2^3=8$. Ça monte vite ! C'est une croissance exponentielle.
  
• Si $0 < a < 1$ : La fonction est décroissante. Elle diminue, et de plus en plus vite, tendant vers zéro. Pensez à une substance radioactive qui se désintègre. Par exemple, $f(x) = (1/2)^x$. Si $x=1$, $(1/2)^1=0.5$. Si $x=2$, $(1/2)^2=0.25$. Si $x=3$, $(1/2)^3=0.125$. Ça descend vite ! C'est une décroissance exponentielle.
  

(Afficher la Diapositive 8 : Visualisation : Graphiques des Fonctions Exponentielles)

Enseignant : Regardez ces graphiques. Ils illustrent parfaitement ce que nous venons de dire. La courbe en rouge, c'est $2^x$. Elle monte en flèche. La courbe en bleu, c'est $(1/2)^x$. Elle plonge vers l'axe des x. Remarquez que les deux courbes passent par le même point : $(0, 1)$. Et les deux se rapprochent de l'axe des x sans jamais le toucher. C'est l'asymptote horizontale, $y=0$.

Que remarquez-vous d'autre sur ces courbes ? Où se croisent-elles ? Que se passe-t-il lorsque $x$ devient très grand, ou très petit ?

(Encourager la discussion et répondre aux questions des élèves.)

Applications Concrètes : Agriculture (25 minutes)

(Afficher la Diapositive 9 : En Pratique : L'Agriculture 🌾)

Enseignant : Maintenant que nous avons les bases, voyons où ces fonctions sont utiles dans la vie réelle. Commençons par l'agriculture. Les fonctions exponentielles sont essentielles pour comprendre la croissance des cultures, la prolifération des insectes nuisibles qui peuvent détruire des récoltes entières, ou encore la dégradation des sols et la diminution de leur fertilité au fil du temps. C'est crucial pour l'avenir de l'alimentation mondiale !

Vous allez maintenant travailler sur la Fiche d'Exercices : Applications en Agriculture. Lisez attentivement chaque problème, identifiez si c'est une croissance ou une décroissance, et appliquez ce que nous avons appris pour modéliser la situation et répondre aux questions. Vous avez 15 minutes pour essayer de résoudre ces exercices. Je suis là pour vous aider si vous avez des questions.

(Distribuer la Fiche d'Exercices : Applications en Agriculture. Circuler dans la classe pour aider les élèves.)

Enseignant : Bien, reprenons ensemble. Qui veut partager sa solution pour le premier exercice ?

(Discuter les solutions en utilisant le Corrigé : Exercices Fonctions Exponentielles comme référence et encourager les élèves à expliquer leur raisonnement. Corriger collectivement les erreurs et clarifier les points difficiles.)

Applications Concrètes : Aide Humanitaire (25 minutes)

(Afficher la Diapositive 10 : En Pratique : L'Aide Humanitaire ❤️)

Enseignant : Passons à un autre domaine vital : l'aide humanitaire. Ici aussi, les fonctions exponentielles sont des outils incroyablement importants. Elles nous aident à modéliser la propagation rapide des maladies lors d'une épidémie, à planifier la distribution de ressources comme la nourriture ou les médicaments face à une demande croissante, ou même à estimer la décroissance d'une population affectée par une crise. Comprendre ces dynamiques peut littéralement sauver des vies.

Je vous propose de relever un nouveau défi avec la Fiche d'Exercices : Applications en Aide Humanitaire. Même principe : lisez, modélisez, résolvez. Vous avez 15 minutes. Bonne chance !

(Distribuer la Fiche d'Exercices : Applications en Aide Humanitaire. Circuler dans la classe pour aider les élèves.)

Enseignant : Très bien, rassemblons nos idées pour ces exercices. Qui a trouvé une façon de modéliser la propagation de la maladie ?

(Discuter les solutions en utilisant le Corrigé : Exercices Fonctions Exponentielles et encourager la participation. Souligner l'importance de ces calculs dans la prise de décision humanitaire.)

Synthèse et Réflexion Finale (10 minutes)

(Afficher la Diapositive 11 : Bilan : L'Impact des Exponentielles)

Enseignant : Pour conclure notre voyage aujourd'hui, faisons un petit bilan. Nous avons découvert que les fonctions exponentielles sont un outil mathématique très puissant. Elles nous permettent de modéliser la croissance et la décroissance rapides de divers phénomènes. Nous avons aussi vu que leur définition est très précise : une base positive et différente de 1 est essentielle. Et surtout, nous avons appliqué cette connaissance à des domaines concrets et cruciaux comme l'agriculture et l'aide humanitaire, démontrant ainsi la pertinence des mathématiques dans le monde réel.

Pour finir, je vous distribue un Questionnaire de Réflexion : Mon Impact Expo. C'est un petit questionnaire pour vous permettre de réfléchir à ce que vous avez appris, ce que vous avez trouvé difficile, et comment vous pensez que ces fonctions pourraient vous être utiles à l'avenir. Prenez 5 minutes pour y répondre. C'est votre 'ticket de sortie'.

(Distribuer le Questionnaire de Réflexion : Mon Impact Expo. Collecter les questionnaires à la fin.)

Enseignant : Merci beaucoup pour votre participation active et votre engagement aujourd'hui. J'espère que vous avez apprécié cette exploration des fonctions exponentielles et que vous voyez maintenant leur importance bien au-delà des livres de maths. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à venir me voir. À bientôt !

Fiche d'Exercices : Applications en Agriculture

Nom : ________________________ Date : ______________

Exercice 1 : La Croissance du Maïs 🌽

Une nouvelle variété de maïs a été développée. On observe que sa hauteur double tous les 7 jours après la germination. À la germination (jour 0), la plantule mesure 2 cm.

1. Écrivez une fonction exponentielle $H(t)$ qui représente la hauteur du maïs (en cm) en fonction du temps $t$ (en nombre de périodes de 7 jours).
   
   
   
   
   
   
   
2. Quelle sera la hauteur du maïs après 21 jours ?
   
   
   
   
   
   
   
3. Après combien de jours la hauteur du maïs dépassera-t-elle 1 mètre (100 cm) pour la première fois ?
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

Exercice 2 : La Prolifération des Pucerons 🐞

Dans un champ de légumes, une colonie de pucerons est découverte. Initialement, on estime leur population à 500 individus. Malheureusement, la population de pucerons triple toutes les 48 heures sans intervention.

1. Modélisez la population $P(j)$ de pucerons en fonction du temps $j$ (en nombre de périodes de 48 heures).
   
   
   
   
   
   
   
2. Quelle sera la population de pucerons après 6 jours ?
   
   
   
   
   
   
   
3. Si 100 000 pucerons sont suffisants pour causer des dommages irréversibles à la récolte, après combien de jours ces dommages seront-ils atteints si rien n'est fait ?
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

Exercice 3 : La Décroissance d'un Pesticide 🧪

Un agriculteur utilise un nouveau pesticide dont la concentration dans le sol diminue de 15% chaque semaine. La concentration initiale au moment de l'application est de 200 mg par kg de sol.

1. Écrivez une fonction exponentielle $C(s)$ qui représente la concentration du pesticide (en mg/kg) en fonction du temps $s$ (en semaines).
   
   
   
   
   
   
   
2. Quelle sera la concentration du pesticide après 3 semaines ?
   
   
   
   
   
   
   
3. Après combien de semaines la concentration du pesticide sera-t-elle inférieure à 50 mg/kg ?
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

Fiche d'Exercices : Applications en Aide Humanitaire

Nom : ________________________ Date : ______________

Exercice 1 : Propagation d'une Maladie 😷

Dans un camp de réfugiés, une maladie contagieuse commence à se propager. Au début (jour 0), 5 personnes sont infectées. On estime que le nombre de personnes infectées double tous les 3 jours.

1. Écrivez une fonction exponentielle $I(j)$ qui représente le nombre de personnes infectées en fonction du temps $j$ (en nombre de périodes de 3 jours).
   
   
   
   
   
   
   
2. Combien de personnes seront infectées après 9 jours ?
   
   
   
   
   
   
   
3. Après combien de jours le nombre de personnes infectées dépassera-t-il 1000 pour la première fois ?
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

Exercice 2 : Distribution d'Eau Potable 💧

Suite à une catastrophe naturelle, une organisation humanitaire distribue de l'eau. Au départ, 10 000 litres d'eau sont disponibles. Cependant, à cause de la consommation rapide et des difficultés d'approvisionnement, la quantité d'eau disponible diminue de 10% chaque jour.

1. Modélisez la quantité d'eau $Q(j)$ (en litres) en fonction du temps $j$ (en jours).
   
   
   
   
   
   
   
2. Quelle quantité d'eau restera-t-il après 5 jours ?
   
   
   
   
   
   
   
3. Si l'organisation a besoin d'au moins 2000 litres pour couvrir les besoins minimaux, après combien de jours la quantité d'eau descendra-t-elle en dessous de ce seuil critique ?
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

Exercice 3 : Lancement d'une Campagne de Sensibilisation 📢

Une nouvelle campagne de sensibilisation aux gestes d'hygiène est lancée. Initialement, 200 personnes sont informées. Grâce au bouche-à-oreille et aux médias locaux, le nombre de personnes informées augmente de 25% chaque semaine.

1. Écrivez une fonction exponentielle $N(s)$ qui représente le nombre de personnes informées en fonction du temps $s$ (en semaines).
   
   
   
   
   
   
   
2. Combien de personnes seront informées après 4 semaines ?
   
   
   
   
   
   
   
3. Après combien de semaines le nombre de personnes informées dépassera-t-il 5000 pour la première fois ?
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

Corrigé : Exercices Fonctions Exponentielles

Fiche d'Exercices : Applications en Agriculture

Exercice 1 : La Croissance du Maïs 🌽

1. Fonction exponentielle $H(t)$ :

   • Hauteur initiale ($H_0$) = 2 cm.
   • Taux de croissance : double, donc la base est 2.
   • La variable $t$ représente le nombre de périodes de 7 jours. Donc, pour $t$ jours réels, l'exposant est $t/7$.
   • $H(t) = 2 \times 2^{t/7}$ ou $H(t) = 2^{(t/7) + 1}$. Utilisons la première forme pour plus de clarté dans le contexte.
     
     Réponse : $H(t) = 2 imes 2^{t/7}$

2. Hauteur après 21 jours :

   • $t = 21$ jours. Le nombre de périodes de 7 jours est $21/7 = 3$.
   • $H(21) = 2 imes 2^{21/7} = 2 imes 2^3 = 2 imes 8 = 16$ cm.
     
     Réponse : La hauteur du maïs sera de 16 cm après 21 jours.

3. Temps pour dépasser 1 mètre (100 cm) :

   • On cherche $t$ tel que $H(t) > 100$.
   • $2 imes 2^{t/7} > 100$
   • $2^{t/7} > 50$
   • Pour résoudre $2^x = 50$, on utilise le logarithme : $x = \log_2(50)$.
   • $x = \frac{\ln(50)}{\ln(2)} \approx \frac{3.912}{0.693} \approx 5.64$ périodes de 7 jours.
   • Puisque $t/7$ doit être un entier pour les périodes, la 5ème période est $5 \times 7 = 35$ jours, et la 6ème période est $6 \times 7 = 42$ jours.
   • Calculons $H(35) = 2 imes 2^{35/7} = 2 imes 2^5 = 2 imes 32 = 64$ cm.
   • Calculons $H(42) = 2 imes 2^{42/7} = 2 imes 2^6 = 2 imes 64 = 128$ cm.
   • Le maïs dépassera 100 cm pendant la 6ème période de 7 jours.
     
     Réponse : La hauteur du maïs dépassera 1 mètre après 42 jours.

Exercice 2 : La Prolifération des Pucerons 🐞

1. Modélisation de la population $P(j)$ :

   • Population initiale ($P_0$) = 500 individus.
   • Taux de croissance : triple, donc la base est 3.
   • La variable $j$ représente le nombre de périodes de 48 heures (2 jours). Donc, pour $j$ jours réels, l'exposant est $j/2$.
   • $P(j) = 500 imes 3^{j/2}$.
     
     Réponse : $P(j) = 500 imes 3^{j/2}$

2. Population après 6 jours :

   • $j = 6$ jours. Le nombre de périodes de 48 heures est $6/2 = 3$.
   • $P(6) = 500 imes 3^{6/2} = 500 imes 3^3 = 500 imes 27 = 13500$ pucerons.
     
     Réponse : La population de pucerons sera de 13 500 après 6 jours.

3. Temps pour atteindre 100 000 pucerons :

   • On cherche $j$ tel que $P(j) = 100000$.
   • $500 imes 3^{j/2} = 100000$
   • $3^{j/2} = \frac{100000}{500} = 200$
   • $j/2 = \log_3(200)$
   • $j/2 = \frac{\ln(200)}{\ln(3)} \approx \frac{5.298}{1.098} \approx 4.825$
   • $j \approx 4.825 imes 2 \approx 9.65$ jours.
   • Puisque les périodes sont de 2 jours, après 8 jours (4 périodes), la population est $P(8) = 500 imes 3^4 = 500 imes 81 = 40500$. Après 10 jours (5 périodes), la population est $P(10) = 500 imes 3^5 = 500 imes 243 = 121500$. Les dommages seront donc atteints après 10 jours.
     
     Réponse : Les dommages irréversibles seront atteints après 10 jours.

Exercice 3 : La Décroissance d'un Pesticide 🧪

1. Fonction exponentielle $C(s)$ :

   • Concentration initiale ($C_0$) = 200 mg/kg.
   • Taux de décroissance : diminue de 15% chaque semaine. Donc, il reste $100% - 15% = 85%$, soit 0.85.
   • La base est 0.85.
   • La variable $s$ représente le temps en semaines.
   • $C(s) = 200 imes (0.85)^s$.
     
     Réponse : $C(s) = 200 imes (0.85)^s$

2. Concentration après 3 semaines :

   • $s = 3$ semaines.
   • $C(3) = 200 imes (0.85)^3 = 200 imes 0.614125 = 122.825$ mg/kg.
     
     Réponse : La concentration du pesticide sera d'environ 122.83 mg/kg après 3 semaines.

3. Temps pour que la concentration soit inférieure à 50 mg/kg :

   • On cherche $s$ tel que $C(s) < 50$.
   • $200 imes (0.85)^s < 50$
   • $(0.85)^s < \frac{50}{200} = 0.25$
   • Pour résoudre $(0.85)^s = 0.25$, on utilise le logarithme : $s = \log_{0.85}(0.25)$.
   • $s = \frac{\ln(0.25)}{\ln(0.85)} \approx \frac{-1.386}{-0.1625} \approx 8.53$ semaines.
   • Après 8 semaines : $C(8) = 200 imes (0.85)^8 \approx 200 imes 0.27249 \approx 54.5$ mg/kg.
   • Après 9 semaines : $C(9) = 200 imes (0.85)^9 \approx 200 imes 0.23161 \approx 46.32$ mg/kg.
   • La concentration sera inférieure à 50 mg/kg après 9 semaines.
     
     Réponse : La concentration du pesticide sera inférieure à 50 mg/kg après 9 semaines.

Fiche d'Exercices : Applications en Aide Humanitaire

Exercice 1 : Propagation d'une Maladie 😷

1. Fonction exponentielle $I(j)$ :

   • Nombre initial de personnes infectées ($I_0$) = 5.
   • Taux de croissance : double, donc la base est 2.
   • La variable $j$ représente le temps en jours. La période de doublement est de 3 jours, donc l'exposant est $j/3$.
   • $I(j) = 5 imes 2^{j/3}$.
     
     Réponse : $I(j) = 5 imes 2^{j/3}$

2. Personnes infectées après 9 jours :

   • $j = 9$ jours. Le nombre de périodes de 3 jours est $9/3 = 3$.
   • $I(9) = 5 imes 2^{9/3} = 5 imes 2^3 = 5 imes 8 = 40$ personnes.
     
     Réponse : 40 personnes seront infectées après 9 jours.

3. Temps pour dépasser 1000 personnes infectées :

   • On cherche $j$ tel que $I(j) > 1000$.
   • $5 imes 2^{j/3} > 1000$
   • $2^{j/3} > 200$
   • $j/3 = \log_2(200)$
   • $j/3 = \frac{\ln(200)}{\ln(2)} \approx \frac{5.298}{0.693} \approx 7.645$
   • $j \approx 7.645 imes 3 \approx 22.935$ jours.
   • Puisque le nombre de jours doit être un multiple de la période de 3 jours pour un calcul exact au doublement : après 21 jours (7 périodes), $I(21) = 5 imes 2^7 = 5 imes 128 = 640$. Après 24 jours (8 périodes), $I(24) = 5 imes 2^8 = 5 imes 256 = 1280$. Le seuil sera dépassé à 24 jours.
     
     Réponse : Le nombre de personnes infectées dépassera 1000 après 24 jours.

Exercice 2 : Distribution d'Eau Potable 💧

1. Modélisation de la quantité d'eau $Q(j)$ :

   • Quantité initiale ($Q_0$) = 10 000 litres.
   • Taux de décroissance : diminue de 10% chaque jour. Il reste donc $100% - 10% = 90%$, soit 0.90.
   • La base est 0.90.
   • La variable $j$ représente le temps en jours.
   • $Q(j) = 10000 imes (0.90)^j$.
     
     Réponse : $Q(j) = 10000 imes (0.90)^j$

2. Quantité d'eau après 5 jours :

   • $j = 5$ jours.
   • $Q(5) = 10000 imes (0.90)^5 = 10000 imes 0.59049 = 5904.9$ litres.
     
     Réponse : Il restera environ 5905 litres d'eau après 5 jours.

3. Temps pour atteindre moins de 2000 litres :

   • On cherche $j$ tel que $Q(j) < 2000$.
   • $10000 imes (0.90)^j < 2000$
   • $(0.90)^j < 0.20$
   • $j = \log_{0.90}(0.20)$
   • $j = \frac{\ln(0.20)}{\ln(0.90)} \approx \frac{-1.609}{-0.1053} \approx 15.28$ jours.
   • Après 15 jours : $Q(15) = 10000 imes (0.90)^{15} \approx 10000 imes 0.20589 \approx 2058.9$ litres.
   • Après 16 jours : $Q(16) = 10000 imes (0.90)^{16} \approx 10000 imes 0.18531 \approx 1853.1$ litres.
   • La quantité d'eau descendra en dessous de 2000 litres après 16 jours.
     
     Réponse : La quantité d'eau descendra en dessous du seuil critique après 16 jours.

Exercice 3 : Lancement d'une Campagne de Sensibilisation 📢

1. Fonction exponentielle $N(s)$ :

   • Nombre initial de personnes informées ($N_0$) = 200.
   • Taux de croissance : augmente de 25% chaque semaine. Donc la base est $1 + 0.25 = 1.25$.
   • La variable $s$ représente le temps en semaines.
   • $N(s) = 200 imes (1.25)^s$.
     
     Réponse : $N(s) = 200 imes (1.25)^s$

2. Personnes informées après 4 semaines :

   • $s = 4$ semaines.
   • $N(4) = 200 imes (1.25)^4 = 200 imes 2.44140625 = 488.28125 \approx 488$ personnes.
     
     Réponse : Environ 488 personnes seront informées après 4 semaines.

3. Temps pour dépasser 5000 personnes informées :

   • On cherche $s$ tel que $N(s) > 5000$.
   • $200 imes (1.25)^s > 5000$
   • $(1.25)^s > 25$
   • $s = \log_{1.25}(25)$
   • $s = \frac{\ln(25)}{\ln(1.25)} \approx \frac{3.2188}{0.2231} \approx 14.42$ semaines.
   • Après 14 semaines : $N(14) = 200 imes (1.25)^{14} \approx 200 imes 22.737 \approx 4547.4$.
   • Après 15 semaines : $N(15) = 200 imes (1.25)^{15} \approx 200 imes 28.421 \approx 5684.2$.
   • Le nombre de personnes informées dépassera 5000 après 15 semaines.
     
     Réponse : Le nombre de personnes informées dépassera 5000 après 15 semaines.

Questionnaire de Réflexion : Mon Impact Expo

Nom : ________________________ Date : ______________

Prenez un moment pour réfléchir à ce que nous avons appris aujourd'hui sur les fonctions exponentielles à base 'a'.

1. En quelques mots, comment décririez-vous une fonction exponentielle à quelqu'un qui n'en a jamais entendu parler ? Qu'est-ce qui la rend spéciale ?
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

2. Parmi les applications que nous avons vues (agriculture, aide humanitaire), quelle est celle qui vous a le plus marqué et pourquoi ?
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

3. Pensez-vous que les fonctions exponentielles pourraient être utiles dans d'autres domaines ? Si oui, lesquels et comment ?
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

4. Quelle a été la partie la plus facile de cette leçon pour vous ? Quelle a été la partie la plus difficile ou celle que vous aimeriez revoir ?
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

5. Comment cette leçon vous fait-elle réfléchir au rôle des mathématiques dans la compréhension et la résolution de problèmes du monde réel ?
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

Merci pour vos réflexions !